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Geometrie ist, wie die Zahlentheorie, ein sehr wichtiges Teilgebiet der Mathematik, und natürlich auch der Informatik (Computergrafik, Bildverarbeitungssysteme, …).
Wir werden hier die Grundgesetze der Geometrie im ein- und zweidimensionalen Raum erklären: Koordinatensystem, Strecken, Geraden und Abstand. Am Ende können Sie die Übungsblätter bearbeiten.
Die Zahlengerade kennen Sie schon von der vierten Klasse, und Sie wissen, dass zu jedem Punkt auf dieser Geraden eine Zahl gehört: deswegen heißt sie “Zahlengerade”.
Und weil zu jedem Punkt auf dieser Geraden GENAU eine Zahl gehört, können wir die Punkten auf der Zahlengeraden durch diese Zahlen bestimmen und finden. Die Zahlen sind dann sowas wie Adressen für die Punkte auf der Zahlengeraden: Das sind die Koordinaten der Punkte auf der Zahlengeraden.
Die Zahlengerade ist dann ein Koordinatensystem.
Was ist aber wenn wir die Position von unterschiedlichen Punkten auf einer Ebene (auf einem Blatt zum Beispiel) bestimmen möchten? Die Zahlengerade wird nicht mehr reichen, weil wir hier Punkte, die weit weg liegen können.
Für eine Ebene brauchen wir dann zwei senkrechte Zahlengerade, die sich in dem Punkt mit der Koordinate “0” schneiden. Die waagerechte Gerade wird x-Achse genannt, und die senkrechte ist die y-Achse.
Das ist das Koordinatensystem einer Ebene.
Da wir zwei Zahlengeraden in unserem Koordinatensystem haben, bekommt jetzt jeder Punkt auf der Ebene zwei Koordinaten (x, y): x ist die Koordinate auf der x-Achse, und y ist die Koordinate auf der y-Achse.
Die Koordinaten eines Punktes in diesem Koordinatensystem zu bestimmen ist ganz einfach, hier sind die nötigen Schritte:
In diesem Beispiel hat der Punkt A die Koordinaten (8,6) und B hat (-2,-8).
Befindet sich ein Punkt auf der x-Achse, dann ist die y-Koordinate gleich „0“.
Befindet sich ein Punkt auf der y-Achse, dann ist die x-Koordinate gleich „0“.
Beispiel: Der Punkt „C“ befindet sich auf der x-Achse und hat die Koordinaten (-6,0). Der Punkt „D“ befindet sich auf der y-Achse und hat die Koordinaten (0, 8)
Durch zwei Punkte „A“ und „B“ können wir genau eine Gerade zeichnen. Diese Gerade verbindet dann diese zwei Punkte miteinander und kann unendlich von beiden Seiten sein. Diese Gerade wird dann mit „Gerade AB“ bezeichnet.
Eine Gerade hat keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt.
Wenn wir uns nur für die Hälfte der Gerade „AB“ interessieren, dann ist diese Halbgerade von einer Seite begrenzt und von der anderen Seite unendlich. Dies wird auch Strahl genannt, weil es wie ein Sonnenstrahl ist: Startpunkt ist die Sonne, und unendlich lang.
Die Halbgerade von AB wird mit „[AB“ bezeichnet, wenn der Anfangspunkt A ist. Oder mit „[BA“ wenn der Anfangspunkt B ist.
Eine Halbgerade hat einen Anfangspunkt, aber kein Endpunkt.
Der Teil der Gerade AB zwischen „A“ und „B“ wird mit Strecke bezeichnet, diese Strecke ist dann durch die Punkte „A“ und „B“ begrenzt.
Jede Strecke hat eine bestimmte Länge. Diese Länge wird mit |AB| bezeichnet.
Zwei Geraden sind parallele Geraden, wenn sie überall den gleichen Abstand zueinander haben, sie schneiden sich in keinem Punkt.
Wenn „g“ und „h“ parallele Geraden sind, dann schreiben wir: „g || h“.
Zwei Gerade „g“ und „h“ sind senkrecht, wenn sie sich schneiden und einen rechten Winkel zusammen bilden. Wir schreiben: „g ┴ h“.
Wenn „g“ senkrecht zu „h“ ist, dann ist „h“ senkrecht zu „g“.
Der Abstand ist die Distanz zwischen zwei Punkten A und B, und das ist wiederum die Länge der Strecke AB: |AB|.
Möchten wir aber den Abstand zwischen einem Punkt A und einer Geraden g herausfinden, dann müssen wir zuerst die senkrechte Gerade h zu g zeichnen, die aber über den Punkt A läuft. Der Abstand zwischen A und g ist dann die der Abstand zwischen A und dem Schnittpunkt von g und h. Das wird auch Lot oder Lotstrecke genannt.
Wir wissen, dass parallele Geraden haben überall den gleichen Abstand. Wie können wir dann diesen Abstand messen?
Das ist auch einfach:
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